SUR LA

THEORIE DES FORMES QUADRATIQUES.

Journal de Crelle, Tome -17.

SECOND MEMOIRE.

On sait avec quelle facility on a pu dtendre aux nombres com-
plexesi de la forme a-+ b^—i la plupart des notions arithmc-
tiques fondamentales relatives aux nombres entiers re'els. Ainsi,
des propositions elementaires qui se rapportent a la divisibility, on
est parvenu rapidement juscju'a ces • proprie'te's plus profondes et
plus cachees qui reposent sur la consideration des formes quadra-
tiques, sans rien changer d'essentiel aux principes des me'tbodes
propres aux nombres re'els. II estcependant certaines circonstances
ou cette extension parait exiger des principes nouveaux, etouFon
se trouve amene" a suivre, dans plusieurs directions differentes,
1'analogie entre les deux ordres de considerations aritbiBetiques.
Nous nous proposons d'en oilrir ici un exemple, auquel nous avons
6t6 conduit en dtudiant la representation d'un nombre par une
somme de quatre carres* Voici d'abord la me"thode nouvelle que
xious avons suivie dans cette question.

I.

De'signons par A un nombre entier impair ou impairement
pair; nous commencerons par e'tablir la possibility de la con-
gruence

2*2 ^.yn ^_ i === o • . i (mod A).

A cet effet, soit d'abord

A^s (mod 4)>r le nombre des